【秦洛寒攻略】第10期 硬核分析-胡十三娘赢取次数期望（一二阶）
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0 前言
十三娘花牌机制十分有趣，尤其是二阶觉醒以后，十三娘赢取的次数能带来额外的buff增益，
所以很多小伙伴十分好奇十三娘多少回合能获得到多少次赢取？
但是苦于本身机制字数很多，而且充满概率和变数。不知从何分析。
其实，本质上就是个经典的概率论求期望的问题。
这篇数据党攻略，老秦就把结论和分析过程给大家一一道来。
没空或者不想烧脑的道友们，只看结论部份就好
1 十三娘花牌机制
十三娘的花牌机制看似复杂（实际一点也不简单），尤其是二阶以后。
但是老秦将其归类后，就十分清晰了
本质：
花牌的获取（回合内外），花色的保底，胡牌机制，杠开和杠开保底机制（有道兵以后才有）。
具体机制：
1.1. 花牌机制：
一共有三种颜色的牌 绿 红 黄。每次获得牌时，除保底外，颜色随机。
三种颜色花牌
1.2. 花色保底机制：
如果手头已经有3张牌，其中2张都相同，仅一张不同，那么下次抽取必定抽齐3张相同，
1.3. 花牌回合外获取：
开局获得一张牌；
每回合开始时候，我方有阵亡队友，抽一张；
若有弟子联携十三娘普攻（比如蛇兵和小唐），也可抽一张。
1.4. 花牌回合内获取：
每次行动抽取1张（再动可以抽取）；
普通攻击额外抽取1张；
若是仙刀刀诀技能额外抽取1张，若是魔刀则将对手血量砍至30%以下可额外抽3张。
1.5. 胡牌机制（赢取）：
三张相同牌才能胡牌，胡牌触发赢取对方优势属性1次
1.6 杠上开花机制（再赢一次）：
胡牌以后有道兵情况会再抽一张牌，如果这张牌和胡的牌相同则会触发杠上开花再赢取1次。如果牌不同则保留这张牌。
1.7 杠开保底机制：
二阶天命二层以后，上次杠开如果失败，下次必定杠开成功。
2 花牌机制计算机制和代码迭代
2.1 基本思路
第一步. 根据当前手牌数量和花色相同与否，最多为以下六种情况，对应概率为A, B, C, D, E, F。
- A. 剩0张
- B. 剩1张
- C. 剩2张相同牌
- D. 剩2张不同牌
- E. 剩下3张（仅1张不同）
- F. 剩下3张（全都不同）
知悉再获取一张花牌，赢0次、1次、2次的概率，以及新的6种手牌分布情况的概率A1, B1, C1, D1, E1, F1。
第二步. 代码迭代，使用代码迭代，得到第n次抽取的赢取期望和手牌概率分布
第三步. 配合每回合能获得多少张卡牌，就可以得到第x回合赢取的期望了。
2.2 抽一次牌：赢取期望和手牌分布概率
2.2.1 未二阶觉醒情况分类讨论
A. 手头剩0张，再抽一张后
（赢0次）剩1张相同 概率A
B. 手头剩1张，再抽一张后
（赢0次）再抽一张（剩2张相同）概率 B*1/3，（赢0次）再抽一张（剩2张不同）概率 B*2/3
C. 手头剩2张不同牌，再抽一张后
抽一张相同杠开（赢2次）（剩0张） C*1/3*1/3，不杠开（赢1次）（剩1张） C*1/3*2/3
抽一张不相同（剩3张仅1张不同）（赢0次）C*2/3
D. 手头剩2张不同牌，再抽一张后
抽一张相同（剩3张仅1张不同）（赢0次）不同概率 D*2/3
抽一张不同（剩3张都不同）（赢0次）概率 D*1/3
E. 手头剩下3张（仅1张不同），再抽一张后
抽一张必定相同杠开（赢2次）（剩0张）E*1/3，不杠开（赢1次）（剩1张）E*2/3
F. 剩下3张（全都不同），再抽一张后
抽一张必定（剩3张仅1张不同）（赢0次）F
这次抽取赢取期望为：
赢2次：C*1/3*1/3+E*1/3
赢1次：C*1/3*2/3+E*2/3
赢0次：A+B*1/3+B*2/3+C*2/3+D*2/3+D*1/3+F
这一次抽牌结束以后花牌张数剩下6种卡牌分布概率An Bn Cn Dn En Fn则可以写为
剩0张 An= C*1/3*1/3+E*1/3
剩1张 Bn= A+C*1/3*2/3+E*2/3
剩2张相同 Cn= B*1/3
剩2张不同 Dn= B*2/3
剩3张1不同 En= C*2/3+D*2/3+F
剩3张3不同 Fn= D*1/3
迭代，即可得到赢取期望（见下一部分）
2.2.2 二阶觉醒情况分类讨论
二阶觉醒以后，杠上开花获得了保底机制，即如果上次没有杠上开花成功，那么这次必定杠上开花成功。
为了简单和方便迭代，老秦这里就按照50%之前杠开过，50%之前没杠开过进行本轮杠开概率的计算。当然，第一回合是特殊情况，因为前面肯定没有杠开过，所以最后汇总计算的时候，老秦第一回合就按照没有二阶天命的情况进行计算，以防止过高估计开局时候的赢取期望。
A. 手头剩0张，再抽一张后
（赢0次）剩1张相同 概率A
B. 手头剩1张，再抽一张后
（赢0次）再抽一张（剩2张相同）概率 B*1/3，（赢0次）再抽一张（剩2张不同）概率 B*2/3
C. 手头剩2张不同牌，再抽一张后
抽一张相同杠开（赢2次）（剩0张） C*1/3*(1/2*1/3+1/2)，不杠开（赢1次）（剩1张） C*1/2*1/3*2/3
抽一张不相同（剩3张仅1张不同）（赢0次）C*2/3
D. 剩下2张不同牌展开，再抽一张后
抽一张相同（剩3张仅1张不同）（赢0次）不同概率 D*2/3
抽一张不同（剩3张都不同）（赢0次）概率 D*1/3
E. 手头剩下3张（仅1张不同），再抽一张后
抽一张必定相同杠开（赢2次）（剩0张）E*(1/2*1/3+1/2)，不杠开（赢1次）（剩1张）E*1/2*2/3
F. 剩下3张（全都不同），再抽一张后
抽一张必定（剩3张仅1张不同）（赢0次）F
这次抽取赢取期望为：
赢2次：C*1/3*(1/2*1/3+1/2)+E*(1/2*1/3+1/2)
赢1次：C*1/2*1/3*2/3+E*1/2*2/3
赢0次：A+B*1/3+B*2/3+C*2/3+D*2/3+D*1/3+F
这一次抽牌结束以后花牌张数剩下6种卡牌分布概率An Bn Cn Dn En Fn则可以写为
剩0张An= C*1/3*(1/2*1/3+1/2)+E*(1/2*1/3+1/2)
剩1张 Bn= A+C*1/2*1/3*2/3+E*1/2*2/3
剩2张相同Cn= B*1/3
剩2张不同Dn= B*2/3
剩3张1不同En= C*2/3+D*2/3+F
剩3张3不同Fn= D*1/3
2.3 回合数和抽牌次数关系
A. 每回合可以抽取的卡牌数量：
和携带的技能十分相关
在未仙魔转职时，携带双再动（两个再次行动技能），则在技能cd好的时候，当回合内可以获得3-4张卡牌（双再动接普攻为4张）。在双再动cd未好时，回合内可以获得1-2张卡牌。
B. 考虑仙魔转职：
仙刀可以让释放刀诀技能额外抽取一张，如果没有携带其他刀诀技能，那么就是让职业技能也获得两张，也就是每回合能稳定获得2张，
魔刀获取需要看练度和输出环境，练度高则每2回合都能额外获得3张，考虑实际战斗并不能每次都如愿，我们可以认为在长远看和仙刀类似，但是更具备爆发性。
C. 考虑队伍内队友携带松风的效果：
松风能够减少我方所有弟子的cd，对于双再动，以及带高输出技能的魔刀比较有意义，能够加快这些技能的释放，不过实际计算中，因为松风本身cd还是较长，所以每隔几回合才能减一次cd。
D. 考虑凤里牺反击触发的协同：
如果是十三娘一起攻击，那么会抽取一张牌，考虑有4个队友，一般对手c位打输出，一回合最多反击2次，所以差不多2-3回合能让十三娘协同反击1次，按2回合算。第一回合不算
E. 队友倒牌情况：
这里我们将有队友阵亡获取花牌的期望，冲抵十三娘自身受到致命伤害导致丢失全部花牌的期望。具体还需要看实际对战对手和自身的阵容，十三娘如果倒牌次数比队友多，那么叠层速度就慢，反之就快。
2.4 代码实现
结合2.2中一次抽取的赢取期望和新手牌分布关系式，和2.3中的回合数和抽取次数的关系
通过简单的matlab代码（当然你也可以用python，c++等等），实现循环和迭代。
就可以得到每回合赢取期望和累积赢取期望的数据。
3 赢取期望表和效果分析
3.0 赢取期望和回合数关系表
未二阶觉醒十三娘赢取概率
二阶觉醒十三娘赢取概率
注意：赢取期望只是个平均值，不代表每次都是这样，欧皇可能会特别多，非酋可能会少些。
（举个例子，投硬币两次，正面的期望是1次，但是运气不好有可能两次都是反面，或者运气很好两次都是正面）
3.1 赢取buff
每次赢取8%攻击 15%防御 10%速度，效果很显著
但是赢取属性只持续3回合。考虑计算的赢取期望，不欧黄或者非酋的情况下，一般只有3-4层赢取buff。这时候就有两种可能的机制，一种是buff叠加法，一种是buff累乘法。
叠加法就是三层赢取为，100%-(15%+15%+15%)=61% 对方只剩55%防御
累乘法就是三层赢取为，(100%-15%)*(100%-15%)*(100%-15%)=61% 对方只剩61%防御
但不论是哪个情况，因为和局内其他攻防速度加成buff可以共存，所以效果显著
仙魔转职后，搭配凤里牺和队伍内的松风，基本可以做到3层甚至更高的赢取buff不断档。
3.2 累积赢取次数
3.2.1 在未仙魔转职时:
a. 没有凤里牺的情况下：13次赢取，平均需要17回合。
b. 有了凤里牺（触发协同普攻），13次赢取，则能缩减到13回合。
3.2.2 仙魔转职后：
如果没有凤里牺：完成13次赢取，平均需要14回合，
有凤里牺且有松风：则可以缩减到12回合！
注意：这里是按照仙刀进行计算，魔刀总的赢取期望近似，但是会一回合高一回合低。
4 总结：一句话概括
十三娘仙魔转职后，搭配凤里牺，基本1回合平均1次赢取，第4回合开始就能常驻3层赢取buff不断档，不到13回合即可达到13次赢取，触发40%无视防御效果，不搭配凤则慢些。不仙魔转职且没有凤里牺则赢取很慢。
最后
相信大家通过这篇硬核分析贴，不论是从分析还是至少从结论角度，都更加了解十三娘的强度。
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