从白到金：基于概率递增机制的武学合成期望成本分析

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先说结论：

合成一个色武学平均需要 694 个白色武学

合成一个金色武学平均需要 4079 个白色武学

一、合成机制说明

每次合成使用 2个低一级装备，合成出 1个高一级装备。失败后下次同品级合成概率线性提升，成功则概率重置。

二、数学期望模型

对于某个阶段，设基础概率为 p，每次失败增加 p。即第 k 次尝试的成功概率为 pk=k⋅p，但不超过1。显然当 k ≥ ⌈1/p⌉ 时成功率为1。记成功所需的尝试次数期望为 E，消耗的低一级装备数量期望为 2E（二个合成一个）。

期望计算公式：E = Σ (尝试次数 × 该次数发生的概率)。

即所有可能的尝试次数，分别乘上该次数恰好成功的概率，再把它们全部加起来

2.1 蓝→紫阶段：p=0.2

第一次成功概率0.2，第二次0.4，第三次0.6，第四次0.8，第五次1.0。

套入期望计算公式

E = 1⋅0.2+2⋅0.8⋅0.4+3⋅0.8⋅0.6⋅0.6+4⋅0.8⋅0.6⋅0.4⋅0.8+5⋅0.8⋅0.6⋅0.4⋅0.2⋅1

= 5.0208

即一个紫色大概需要5.0208个蓝色

每个蓝色需要4个白色，所以一个紫色大概需要4⋅5.0208 = 20.0832个白色

2.2 紫→橙、橙→红、红→金：p=0.15

递增序列：15%, 30%, 45%, 60%, 75%, 90%, 100%

先计算第 n 次成功的概率

第1次成功：0.15

第2次：0.85⋅0.30 = 0.255

第3次：0.85⋅0.70⋅0.45 = 0.26775

第4次：0.85⋅0.70⋅0.55⋅0.60 = 0.19635

第5次：0.85⋅0.70⋅0.55⋅0.40⋅0.75 = 0.098175

第6次：0.85⋅0.70⋅0.55⋅0.40⋅0.25⋅0.90 = 0.0294525

第7次：0.85⋅0.70⋅0.55⋅0.40⋅0.25⋅0.10 = 0.0032725

期望：

E = 1⋅0.15+2⋅0.255+3⋅0.26775+4⋅0.19635+5⋅0.098175+6⋅0.0294525+7⋅0.0032725 = 2.9391475

紫合橙期望尝试2.9391475次。

即合成一个橙色需要消耗2E = 5.878295个紫色。

同理，橙色→红色、红色→金色消耗相同倍数。

三、从白色到红/金色的总期望

红→金需消耗 5.878295个红

橙→红需消耗 5.878295个橙

紫→橙需消耗 5.878295个紫

所以

红需消耗紫 = 5.8782952 ^ 2 ≈ 34.554

金需消耗紫 = 5.8782952 ^ 3 ≈ 203.123

每个紫需要 20.0832 个白

因此

红需消耗白 ≈ 34.554⋅20.0832 ≈ 694个白

金需消耗白 ≈ 203.123⋅20.0832 ≈ 4079个白

四、结论

橙、红、金大概需要6个上一品级来合成

紫需要20个白

橙需要118个白

红需要694个白

金需要4079个白

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