重生的期望计算方法

问题：假设重生概率为x，不考虑一回合死亡两次的情况，求重生次数的期望S。

解：

S = x + 2x^2 + 3x^3 + ... + nx^n

xS = x^2 + 2x^3 + 3x^4 + ... + nx^(n+1)

(1-x)S = x + x^2 + x^3 + ... + x^n - nx^(n+1)

= [x - x^(n+1)] / (1-x) - nx^(n+1)

因为n取正无穷时，nx^(n+1)趋近为0，x^(n+1)同理趋近为0，故：

（1-x)S = x/(1-x) - 0 - 0

S = x/[(1-x)^2]

举例来说，不考虑一回合被杀死两次情况下，如果狐狸重生概率x为0.5，那么S=2，也就是说在一局比赛中狐狸复活两次是正常水平。

同理，如果重生概率为65%，那么S=5.3，也就是说一局比赛中狐狸复活5次是正常水平。