关于《土豆兄弟》护甲属性的个人理解与分析
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1. 护甲的定义及计算方法
1.1 定义
在《土豆兄弟》中，护甲（Armor，图1）是可以将玩家每次受到的伤害量减少或增加一个百分比的属性。当护甲值大于零时，其表现为减少，反之则表现为增加。
1.2 函数解析式及其性质
设玩家的护甲为x（x∈R），减伤比例为y（定义y>0时为减伤，y=0时伤害不变，y<0时为加伤，与游戏中对护甲的说明“你受到的伤害增加/减少|100y|%”相对应）。Brotato Wiki给出的公式（图2）为：
% of damage received after being reduced by positive armor = 1 / ( 1 + ( ARMOR / 15 ) )①
% of damage received after being increased by negative armor = (15 - 2 * ARMOR) / (15 - ARMOR)②
在①式中（护甲为正时），等式左边为y，右边的ARMOR为x，整理可得y=x/(x+15)（x>0）。
在②式中（护甲为负时），等式左边为“负护甲使玩家受到的伤害百分比”，根据我们对y的定义，它对应的是(1-y)，右边的ARMOR同样为x。将1-y=(15-2x)/(15-x)进行整理可得y=x/(-x+15)（x<0）。
当x=0时，y=0，即护甲为零时玩家所受伤害不变。
显然，lim(x→0-)y(x)=lim(x→0+)y(x)=y(0)=0，所以函数y=y(x)在R上连续，可将其合并为一个解析式y=x/(|x|+15)（*），这也就是减伤比例与护甲的函数解析式。
（这里必须吐槽一句，Brotato Wiki这一点整的确实不算好，明明直接给一个*式外加一点简单说明即可。结果他们却整成了分段函数，甚至两个区间对因变量的定义都不同，同时列大表格和用大量篇幅来说明，导致信息密度过低，且给读者的阅读带来了不便，如图3所示。）
经证明，y=y(x)在R上可导，y'(x)=15/(|x|+15)^2（具体过程就不展开了，否则篇幅会过长。大家可以自己写一下，注意x=0处要用导数定义）。该函数为奇函数，定义域为R（护甲可正、可负、可零），值域为(-1,1)开区间，在R上单调递增［y'(x)>0对∀x∈R恒成立］，存在上界1和下界-1（形状类似于y=arctanx）。其特点用通俗的话来说就是±1可以无限接近，却永远取不到。所以就不要考虑护甲堆高点可以100%减伤了，不可能的（同理，负护甲也不可能导致玩家受到超过2倍的伤害）。
1.3 护甲的主要构筑要点
观察y=y(x)的导函数y'(x)=15/(|x|+15)^2可以看出，y'(x)max=y'(0)=1/15，即该函数在原点处的导数值最大，这也就是很多玩家指出的“前几点正护甲的提升最显著，前几点负护甲的副作用最致命”这一命题的数学本质。这意味着在实战中，玩家在游戏前中期一定要谨慎选用减护甲的软糖狂战士、玻璃大炮等道具，或复数件虚灵类武器（它们同样会减少护甲），除非玩家对自己的操作很自信，或游玩的是伤者等特殊角色。当然这也并不意味着前期就要直接无脑梭哈护甲，详见下文2.3部分。
2. 有效生命值定义及计算方法
2.1 定义
击杀玩家角色所需的理论伤害量即为玩家的有效生命值（Effective HP）。
2.2 函数解析式及其性质
根据前文中对减伤比例y(x)的定义，有效生命值ε可表示为最大生命值h与护甲x的二元函数，即ε(h,x)=h/[1-y(x)] = h(|x|+15)/(|x|-x+15)，其定义域为{(h,x)|h>0，x∈R}，值域为(0,+∞)。
经证明，ε=ε(h,x)在定义域内同样连续且可导（具体过程同样不展开了）。当x≥0时，∂ε/∂h=(x+15)/15，∂ε/∂x=h/15。当x<0时，∂ε/∂h=(15-x)/(15-2x)，∂ε/∂x=15h/(15-2x)^2。
此处我们可以特别注意一下，当x>0时，∂ε/∂x=h/15这个式子。通过它可以得出，当最大生命值不变时，每1点护甲可以使有效生命值在当前最大生命值的基础上提高6.66个百分点（1/15=0.066……），这也就是Brotato Wiki中指出的“……each point of armor increases your Effective HP by 6.66%.”（图4）这一说法的数学本质。
2.3 偏导数方法对比护甲与生命值词条收益
根据上述偏导数可得，理论上说，在面对升级选项的加点时，假设玩家目前的最大生命值为h0（h0>0），护甲为x0，最大生命值选项为+Δh，护甲选项为+Δx，那么在加点时只需计算并比较(Δh)∂ε/∂h|(h0,x0)与(Δx)∂ε/∂x|(h0,x0)的大小，选择值较大（即有效生命值ε提升更大）的选项即可。
但在实际游玩过程中，上述方法存在明显的问题。一方面普通玩家大多没有耐心去记忆并每次都临场计算上面4个偏导数公式；另一方面，考虑到《土豆兄弟》中的数值较小，且普遍采用四舍五入的方式来计算，因此前期直接堆护甲显然是并不划算的（打个比方，假设某敌人的伤害为4，则你需要堆3点护甲才能将其伤害降为3），除非你游玩的是骑士或尖刺盾等靠护甲转伤害的角色或武器，但这就是另一回事了。
基于前文的分析，我们的思路即为“通常情况下，前期在防御端优先考虑最大生命值而非护甲”，那么我们需要堆到多少血再转护甲呢？在《土豆兄弟》中，对于相同品质（等级）的升级选项而言，最大生命值在数值上等于护甲的3倍，如白色（1级）品质为最大生命值+3或护甲+1，蓝色（2级）品质为最大生命值+6或护甲+2，以此类推。因此“何时转护甲”即为解关于h的不等式∂ε/∂x|(h,0)>3∂ε/∂h|(h,0)，代入得h/15>3，解得h>45。所以结论即为：当面对相同品质的最大生命值和护甲升级选项时，若玩家的最大生命值大于45，则加护甲的收益更高，否则加最大生命值收益更高（很多玩家可能知道“45血”这个阈值，但是并不知道它是如何被计算出来的，这里我帮大家拆解出来了）。
PS：
1. 这篇帖子我写得较为仓促，函数、数值计算及相关描述等内容可能存在纰漏，恳请各位土豆大佬批评指正。
2. 为什么我要写这些，其一是因为近期刷到了有玩家问关于护甲的问题，这里我就详细解答一下了；其二是因为最近TapTap土豆区的萌新和路人玩家较多，很多人可能都是被国服的预约宣传引流来的路人，不知道原版《土豆兄弟》长什么样，因此我在此帮他们科普一下，同时我也想让大家知道，没有国服特色氪金框架和重度局外成长的原版《土豆兄弟》的数值设计和构筑深度有多么精妙。最后，我希望真正热爱这款游戏的路人玩家有条件的话能支持Steam版或手游国际服买断版等原汁原味的纯粹正版，真正领略它的魅力。
