点灯解密，数学通解

2025/03/201281 浏览攻略

之前的文章是工具解和技巧解，本篇用数学方法通杀所有点灯问题。

注：由于字数限制，仅以简单三灯为例，理论为主，实战放到下篇。

一、原理

1. 最简操作每个灯最多操作一下，因为两下会还原。

2. 点灯结果与点灯顺序无关。

3. 灯由灭变亮，或由亮变灭，均称为反相。

4. 操作一盏灯会使同行同列的反相。

5. 反相次数为奇数时，灯亮；反之，灯灭。

6. 当每盏灯反相次数都为奇数时，全部灯亮。

7. 从左到右，从上到下的顺序给每盏灯标号。即1行1列为灯1，1行2列为灯2，2行1列为灯3。

二、方程组

设灯1操作次数为x₁，依次类推。

灯1的反相受同行同列灯的影响，即灯1反相次数=灯1操作次数+灯2操作次数+灯3操作次数。要让灯1亮，则这个等式应为奇数，即：

x₁+x₂+x₃ = 奇

同理，灯2只受灯1和灯2的影响，有方程：

x₁+x₂ = 奇

同理，灯3反相方程：

x₁ +x₃ = 奇

三、矩阵

方程组写法太复杂，所有方程都有相同的地方，将相同的地方隐去，得到矩阵：

[111奇

110奇

101奇]

为了好看，最后一列用1表示奇，0表示偶：

[1111

1101

1011]

注意：以上并非矩阵的标准写法，只是为了简便。

四、计算方法理解

1. 理解 x₁+x₁=2x₁=0：x₁表示灯1操作次数，所以2x₁表示2倍的灯1操作次数，这个次数偶数，相当于没有操作，也就相当于操作次数为0。

2. 理解最后一列1+1=2=0：这个1表示奇数，2倍的奇数就是偶数，用0表示。

五、简化矩阵

1. 让矩阵1行1列为1，1列其它行都为0。

先让2行1列为0：第2行+第1行=1101+1111=0010，

可以直接在矩阵上计算，即第2行变为 0010，矩阵变为：

[1111

0010

1011]

同理，再让3行1列为0：

第3行+第1行=1011+1111=0100

[1111

0010

0100]

2. 让矩阵2行2列为1，其它2列都为0。

交换2行和3行：

[1111

0100

0010]

第1行+第2行=1111+0100=1011，矩阵为

[1011

0100

0010]

3. 让矩阵3行3列为1，其它3列都为0。

第1行+第3行=1011+0010=1001，矩阵：

[1001

0100

0010]

六、分析矩阵

1. 第3行，0010表示灯3次数为偶数，即灯3不操作。

2. 第2行，0100表示灯2次数为偶数，即灯2不操作。

3. 第1行，1001表示灯1次数为奇数，即灯1操作。

即，只需要看最后一列为1的有哪些行就操作哪些灯。

需要注意，有时会出现一行和一列全0的情况，表示这个灯可操作，可不操作，直接假定不操作即可；如第3列全0，则假定0010替换全0的行。

总结：其实很简单，只是为了把原理讲清楚，所以写了这么多。实际操作时，只需要把矩阵列出来，化简，看哪些行最后为1即可。

你学会（废）了吗？

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