【计算】怎样才能合成更多的源神？

r→sr，sr→ssr，ssr→ssr+的源神四合一，三合一和二合一的成功率如图所示。先说结论：r→sr和sr→ssr源神合成时，四合一效率最高；而ssr→ssr+源神合成时，三合一的效率最高。

（前提：游戏里对概率的标注没有错）

具体数值为：

① r→sr：

四合一，合成一个sr源神平均需要4个r源神

三合一，……4.07…

二合一，……4.33…

②sr→ssr：

四合一，合成一个ssr源神平均需要6.39个sr源神

三合一，……6.71…

二合一，……6.88…

③ssr→ssr+：

四合一，合成一个ssr+源神平均需要10.375个ssr源神

三合一，……10.09…

二合一，……11…

下面以ssr→ssr＋源神四合一为例，介绍一下两种可行的推导方法，其中方法一计算过程简单，方法二逻辑好理解，但计算过程复杂：

方法一：假设一共有400个ssr源神参与合成。四合一时，一共合成100次，成功率是32%，因此成功次数的数学期望是32次，失败次数的数学期望是68次。其中，每成功合成一次则得到一个ssr＋源神，每失败合成一次则返还一个ssr源神。因此，在数学期望上，相当于一共332个ssr源神合成了32个ssr+源神，每合成一个ssr+源神需要332÷32＝10.375个ssr源神。

方法二：四合一时，合成一个ssr+源神所需的ssr源神数量有32%的概率为4个，有68%的概率需要更多，在该需要更多ssr源神的情况中，有32%的概率所需ssr源神数量为7（对应事件：第一次合成时失败，返还1个ssr源神，随后其与3个新的ssr源神一起合成，并成功），有68%的概率需要更多，在该需要更多ssr源神的情况中，有32%的概率所需源神数为10个（4+3+3），有68%的概率需要更多……

因此，合成一个ssr+源神所需ssr源神的数量的数学期望为

32%×4+68%×32%×(4+3)+68%×68%×32%×(4+3+3)+……+68%^n×32%×(4+3n)，其中n趋于正无穷。

原式＝

32%×[4+68%×(4+3)+68%^2×(4+3×2)+…+68%^n×(4+3n)]

＝32%×[4×(1+68％+68％^2+…+68%^n)+3×(68%+68％^2×2+…＋68％^n×n)]

该多项式中含有两个通式，分别表示为：

Sn＝1+x+x^2+…+x^n

Tn＝x+x^2×2+…+x^n×n

其中Sn为等比数列求和，其值为(1-x^n)/(1-x)，x＜1，n趋于正无穷时，Sn＝1/(1-x)；

而令Tn乘x，得xTn＝x^2+x^3×2+…+x^(n+1)×n，因此(1-x)Tn＝x+x^2+x^3+…+x^n-x^(n+1)×n＝x[1+x+x^2+…+x^(n-1)]-x^(n+1)×n＝xS(n-1)-x^(n+1)×n＝(x-x^n)/(1-x)-x^(n+1)×n，因此Tn＝(x-x^n)/(1-x)^2-［x^(n+1)×n］/(1-x)，x＜1，n趋于正无穷时，Tn＝x/(1-x)^2

综上，原式＝32%×[4×1/(1-68%)+3×(68%/(1-68%)^2]＝10.375