简析《土豆兄弟》护甲属性，重新整理了一下

修改于08/29441 浏览攻略合集

1. 护甲的定义及计算方法

1.1 定义

在《土豆兄弟》中，护甲（Armor，图1）是可以将玩家每次受到的伤害量减少或增加一个百分比的属性。当护甲值大于零时，其表现为减少，反之则表现为增加。

1.2 函数解析式及其性质

设玩家的护甲为x（x∈R），减伤比例为y（定义y>0时为减伤，y=0时伤害不变，y<0时为加伤，与游戏中对护甲的文本说明“你受到的伤害增加/减少|100y|%”相对应）。Brotato Wiki给出的公式（图2）为：

% of damage received after being reduced by positive armor = 1 / ( 1 + ( ARMOR / 15 ) )①

% of damage received after being increased by negative armor = (15 - 2 * ARMOR) / (15 - ARMOR)②

在①式中（护甲为正时），等式左边为y，右边的ARMOR为x，整理可得y=x/(x+15)（x>0）。

在②式中（护甲为负时），等式左边为“负护甲使玩家受到的伤害百分比”，根据我们对y的定义，它对应的是(1-y)，右边的ARMOR同样为x。将1-y=(15-2x)/(15-x)进行整理可得y=x/(-x+15)（x<0）。

当x=0时，y=0，即护甲为零时玩家所受伤害不变。

显然，lim(x→0-)y(x)=lim(x→0+)y(x)=y(0)=0，所以函数y=y(x)在R上连续，可将其合并为一个解析式y=x/(|x|+15)（*），这也就是减伤比例与护甲的函数解析式。

（这里必须吐槽一句，Brotato Wiki这一点整的确实不太行，明明直接给一个*式外加一点必要的简单说明即可。结果他们却整成了分段函数，甚至两个区间对因变量的定义都不同，导致不得不列大表格和用大量篇幅来说明，信息密度过低，且给读者的阅读带来了困难，如图3所示。）

经证明，y=y(x)在R上可导，y'(x)=15/(|x|+15)^2（具体过程就不展开了，否则篇幅会过长。大家可以自己写一下，注意x=0处要用导数定义，不要直接套公式）。该函数为奇函数，定义域为R（护甲可正、可负、可零），值域为(-1,1)开区间，在R上单调递增［y'(x)>0对∀x∈R恒成立］，存在上界1和下界-1（形状类似于y=arctanx），渐进线为y=±1，其特点用通俗的话来说就是±1可以无限接近，却永远取不到。所以就不要考虑护甲堆高点可以100%减伤了，不可能的（同理，负护甲也不可能导致玩家受到超过2倍的伤害）。

1.3 护甲的主要构筑要点

观察y=y(x)的导函数y'(x)=15/(|x|+15)^2可以看出，y'(x)max=y'(0)=1/15，即该函数在原点处的导数值最大，然后向两边逐渐减小到趋于零。这也就是很多玩家指出的“前几点正护甲的提升最显著，前几点负护甲的副作用最致命”“护甲较高时，加护甲的边际收益会明显递减”等命题的数学本质。这意味着在实战中，玩家在游戏前中期建议谨慎选用减护甲的筹码、软糖狂战士、玻璃大炮等道具，或复数件虚灵类武器（它们同样会减少护甲），特别是走近战流时更是如此。除非玩家对自己的操作有自信，或游玩的是伤者等特殊角色。当然这也并不意味着前期就要直接无脑梭哈护甲，详见下文2.3部分。

2. 有效生命值定义及计算方法

2.1 定义

击杀玩家角色所需的理论伤害量即为玩家的有效生命值（Effective HP）。

2.2 函数解析式及其性质

根据前文中对减伤比例y(x)的定义，有效生命值ε可表示为最大生命值h（h>0）与护甲x的二元函数，即ε(h,x)=h/[1-y(x)]‎ = h(|x|+15)/(|x|-x+15)（**），其定义域为{(h,x)|h>0，x∈R}，值域为(0,+∞)。

经证明，ε=ε(h,x)在定义域内同样连续且可导（具体过程同样不展开了）。当x≥0时，∂ε/∂h=(x+15)/15，∂ε/∂x=h/15。当x<0时，∂ε/∂h=(15-x)/(15-2x)，∂ε/∂x=15h/(15-2x)^2。

此处我们可以特别注意一下，当x≥0时，∂ε/∂x=h/15这个式子。通过它可以得出，若玩家的护甲值为非负，则当最大生命值不变时，每1点护甲可以使有效生命值在当前最大生命值的基础上提高6.66个百分点（1/15=0.066……），这也就是Brotato Wiki中指出的“……each point of armor increases your Effective HP by 6.66%.”（图4）这一命题的数学本质。但若玩家的护甲值为负，则该命题不再成立，原因在于当x<0时，∂ε/∂x=15h/(15-2x)^2，此时有效生命值ε对x的偏导数为x的函数，而非常数。

2.3 偏导数方法对比护甲与生命值词条收益

根据上述偏导数可得，理论上说，在面对升级选项的加点时，假设玩家目前的最大生命值为h0（h0>0），护甲为x0，最大生命值选项为+Δh，护甲选项为+Δx，那么在加点时只需计算并比较(Δh)∂ε/∂h|(h0,x0)与(Δx)∂ε/∂x|(h0,x0)的大小，选择值较大（即有效生命值ε提升更大）的选项即可。

但在实际游玩过程中，上述方法存在明显的问题。第一，普通玩家大多没有耐心去记忆并每次都临场计算上面4个偏导数公式；第二，《土豆兄弟》中的数值较小，且普遍采用四舍五入的方式来计算，因此前期直接堆护甲显然是并不划算的，打个比方，假设前期某敌人的伤害为4，则你需要堆3点护甲才能将其伤害降为3（除非你游玩的是骑士或尖刺盾等靠护甲转伤害的角色或武器，但这就是另一回事了），此时显然不如直接加最大生命值来得划算；第三，若玩家为负护甲，则∂ε/∂x为x的函数（见前文），偏导数（瞬时变化率）∂ε/∂x|(h0,x0)并不能代表它在[x0,x0+1]区间内的平均变化率，打个比方，设函数f(x)=lnx，我们知道f(1)=0，f'(1)=1［即y=f(x)在(1,0)处的切线方程为y=x-1］，但f(2)=ln2≠1，曲线y=lnx是被直线y=x-1“压在下面”的。

基于前文的分析，我们的思路即为“通常情况下，前期在防御端优先考虑最大生命值而非护甲”，那么我们需要堆到多少血再转护甲呢？在《土豆兄弟》中，对于相同品质（等级）的升级选项而言，最大生命值在数值上等于护甲的3倍，如白色（1级）品质为最大生命值+3或护甲+1，蓝色（2级）品质为最大生命值+6或护甲+2，以此类推。因此“何时转护甲”即为解关于h的不等式∂ε/∂x|(h,0)>3∂ε/∂h|(h,0)，代入得h/15>3，解得h>45。所以结论即为：若玩家的护甲值为零，则当面对相同品质的最大生命值和护甲升级选项时，若玩家的最大生命值大于45，则加护甲的收益更高，否则加最大生命值收益更高（很多玩家可能知道“45血”这个阈值，但是并不知道它是如何被计算出来的，这里我帮大家拆解出来了）。注意“45血阈值”成立的充要条件为玩家当前的护甲为零（x=0），否则该值会发生偏移，大伙如果有兴趣的话可以自行尝试计算。

再补充一个点，部分玩家可能会好奇幽灵（自带-100护甲）这个角色是否需要补护甲，毕竟-100这个数字看起来确实有些吓人。这里我的答案是不需要，且购买筹码、玻璃大炮等减护甲的强力道具时也不需要有任何顾虑，实在不放心的话只需补点最大生命值即可。证明如下：当x<0时，dy/dx=15/(-x+15)^2①，∂ε/∂x=15h/(15-2x)^2②，∂ε/∂h=(15-x)/(15-2x)③。当x=-100时，由①得，减伤比例的瞬时变化率仅约为0.11%；由②得，有效生命值对护甲的瞬时变化率更是仅约为(3.24*10^-4)h；由③得，有效生命值对最大生命值的瞬时变化率约为53.49%。可以看出，此时加最大生命值的收益仅仅只是“砍一半”而已，但加护甲的收益却几乎可以忽略不计，同时减护甲带来的影响也几乎可以忽略不计。因此，幽灵还是应该考虑如何把闪避堆满90%，并通过走位以及水熊虫等特殊道具来保证容错率，而不是想着补护甲。

PS：

1. 这篇帖子是我根据此前7月份的帖子进行了一些补充、完善和修正，并重新整理上传的。同样难免可能存在一些纰漏，恳请各位土豆大佬批评指正。

2. 有效生命值ε对护甲x的二阶偏导数∂^2ε/∂x^2在x=0处是不存在的，这一点大伙有兴趣（以及无聊）的可以自己试着证一下。

3. 上述几个函数大家可以用“图形计算器”（对一元函数）和“3D计算器”（对二元函数）这两个App来自行绘图（在应用商店搜索“GeoGebra”即可），从而更直观地观察其性质。

4. 我写这个帖子的主要原因是近期《土豆兄弟》国服社区的萌新和路人玩家较多，他们也许并不了解原版《土豆兄弟》具体长什么样，且很可能会被国服中错误的难度标注、荒诞的局外养成与数值膨胀，以及社区中错误的劣质攻略（如霰弹枪企业家）所带偏，因此我在此帮他们科普一下，同时我也想让大家知道，没有国服特色氪金框架和重度局外养成的原版《土豆兄弟》的数值设计和构筑深度有多么精妙。最后，我希望真正热爱这款游戏的路人玩家有条件的话能支持Steam版或手游国际服买断版等原汁原味的纯粹正版（后者可私我指路），从而真正领略它的魅力所在。