EH的数独杂谈 #12-1 毛刺初步

2024/12/01501 浏览攻略

前置知识：本系列1-6章，7-1，8-1，8-2，9-1，9-2，10，11-1

（如果没能全部掌握也不要担心，感受本节提供的思路即可）

--------目录--------

一、从鱼鳍到毛刺

二、毛刺的用法&一些约定

1. 毛刺的用法

2. 一些约定

三、毛刺实战

1. 刺数组

2. 刺AIC

3. 刺连续环

四、毛刺与构造的联动

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欢迎回来！在第11章中，我为大家展示了三大法宝之一——构造，它能帮助我们发掘更深层次的强关系或弱关系。但即使知道了这个思想方法，在实战中依然可能会受到局限：在候选数非常多的时候，你可能很难将链拓展到其他地方去，导致你在构造过程中进行的种种尝试都有可能无功而返。

另一种情况更加令人烦恼：你费尽心力在盘面上试图寻找你所知道的结构，例如XY-wing，链列，连续环，SDC等等，结果却发现总是多出一两个候选数，导致结构无法直接使用。

在过去，这会导致你不得不改弦易辙，去其他地方寻找能用的技巧，或者寻求非常冗长而晦涩的链。但现在，我将为你带来三大法宝之二，它可以从这种窘境中开拓新的路径，将已有的结构的价值发挥到极致——

让我们有请：毛刺。这会是你所接触过的最伟大的思想方法之一。它和数独其他一切技巧联动，而且配合构造和秩理论可以发挥其最大效用。

但是，熟练掌握毛刺需要大量的练习和刻苦的思考。你准备好了吗？

一、从鱼鳍到毛刺

在8-2中，我们已经接触过鳍鱼的一个实例了，详见图12-1.1。

图12-1.1 一个鳍鱼，这里的鳍就是毛刺

图中绿色圈表示一条二链列，r4c3(6)是这条鱼的鳍。如果没有这个鳍，那么绿色圈就能发挥标准二链列的作用，删除c25两列其余的候选数6。现在由于鳍的存在，删数的规模受到了限制。

在这里，结构不仅可以删除r5c2(6)，还可以通过将鳍直推的方式，进一步删除r9c46(6)。在这个过程中，我们实际上是在找“鳍为真”和“原标准二链列为真”时的共同结论。

这两段话就共同阐释了毛刺的概念：当原结构由于多出了一些候选数导致其不能直接使用时，这些多出来的候选数称为该结构的毛刺；特别地，如果原结构的部分删数可以被所有的毛刺删除，那么这些删数就一定可以删除。显然在刚才的例子中，这个r4c3(6)就是二链列的毛刺。

像构造一样，读者不必在毛刺的概念上钻牛角尖。

二、毛刺的用法&一些约定

1. 毛刺的用法

根据毛刺的概念，毛刺通常有如下使用方法（本节只需掌握第1条；第2条和第3条我们会在以后的章节介绍）：

（1）设刺为真，通过直推删除原结构的删数；

（2）对于准秩零结构（第13章会讲），其毛刺如果推出预备删数（往下看）为真，则形成绽放环（第13章会讲）产生额外删数；

（3）对于准秩零结构，如果毛刺为真可以导致矛盾/无解，或者其删除了所有的预备删数，则毛刺本身可以删除。

2. 一些约定

为了后续的交流方便，现作出如下约定和定义：

（1）当毛刺不存在时，原结构的删数称为『预备删数』。之所以叫预备删数，是因为它们并不能直接删除，需要进行验证。

（2）在笔者的图中，默认以紫圈代表毛刺，紫线代表预备删数；暖色调箭头代表直推（即依次经过一条弱链和一条强链，也就是通过A真推得B真的过程），红色叉叉代表确定的删数。

三、毛刺实战

在讲完必要的概念之后，是时候带你们亲身感受毛刺的威力了。我们将通过三则实例讲解毛刺的第一种用法，但你完全可以将毛刺用于其他地方。

1. 刺数组

如果一个数组里多出了一个候选数，我们以往会将其当做ALS来寻找强弱关系。现在，你可以把多出的候选数当做毛刺进行直推，找到和原数组共同的删数结论。

让我们看看图12-1.2吧。

图12-1.2 刺数组一例

六宫的绿框内，如果没有毛刺r5c8(2)，则构成178数组，其预备删数如下：r2c8(1)，r56c7(1)和r456c7(8)。

现在当毛刺为真时，我们可以按照图上的红色箭头，依次推出r9c8(8)，r7c7(7)为真。这样r89c9成为69数组，推出r1c9(8)为真。结合r7c7(7)和r1c9(8)，推出r3c7(1)为真。

这个r3c7(1)可以删除r56c7(1)，也就是删除数组的预备删数。所以r56c7(1)就是结构的删数。

*部分读者可能会在这里纠结：刚才的过程不就是把r5c8(2)代入吗？这跟粗暴的试数有什么区别？

*实际上，纯粹的试数并不总是正确的，其正确与否在选定要代入的数字之时就已确定，并且直到余盘瓦解或者发现矛盾才能作出定论；但这里毛刺的代入是为了找寻公共结论，通过刺真得到的公共删数，是可以保证一定正确的，并允许玩家立刻将其删除。

2. 刺AIC

如同数组一样，链也可以采取毛刺。具体来讲，如果删去一个候选数能产生一条有结论的链，那么完全可以把这个候选数当做毛刺。

图12-1.3展示了一个刺W-Wing的例子。

图12-1.3 刺W-Wing一例

我们知道，W-Wing就是一条特殊的链。注意到两个绿框框起来的只含候选数78的格子，以及8列的数字8的排布。要是没有r2c8(8)，W-Wing就形成了。

因此以r2c8(8)为刺，则绿框构成W-Wing，得到强关系r7c7(7)=r6c9(7)，预备删数如下：r456c7(7)，r8c9(7)。

当毛刺为真时，可以直推出r56c8(7)为真，从而删除r456c7(7)。

3. 刺连续环

刺连续环除了直推公共结论以外，还有一些独特的性质，这使得刺连续环比刺AIC更加强大和实用。当然，这并不是现在就需要关心的问题。

图12-1.4是一个刺连续环的例子。

图12-1.4 刺连续环一例

我们暂时忽略所有的粉线。如果你要在这里寻找关于8的单数链，你可能会找到下面的双线风筝：

r1c6(8)=r8c6(8)-r9c4(8)=r9c7(8)

它没有直接的结论。但如果以r2c9(8)为刺，这条链就能进一步延展为连续环：

r1c6(8)=r8c6(8)-r9c4(8)=r9c7(8)-r23c7(8)=r1c89(8)-r1c6(8)

其预备删数有r8c5(8)和r6c7(8)。

现在令刺为真，则沿着粉色箭头，直推出r2c2(3)，r9c2(2)，r9c4(8)。从而删除r8c5(8)。

如果你看懂了上面的三个例子，你就理解了毛刺的最基础用法。如果你能够完成3-4星的题目，但面对5星题目束手无策，那么现在，你就已经拥有了对抗5星题的法宝。

选择对什么结构使用毛刺，是非常自由的。但想要让你的毛刺一针见血，就需要大量的练习来积累实战经验了。

四、毛刺与构造的联动

在11-1中，我们讲述了基于AIC+和规避非法结构的构造。有了毛刺之后，构造的方法就又多了一种：

如果原结构成立，其预备删数全部删除时可以出数，则毛刺与这些出数成强关系。

有些抽象？没关系，我们来看看图12-1.5的例子。

图12-1.5 使用毛刺构造强链

首先注意涂绿的五格，以紫色的r7c6(4)为毛刺，如果去掉它，则这五格形成SDC，其预备删数为r8c89(4)，从而出数r8c8=8。

这时我们发现，去掉r7c6(4)能推出r8c8(8)，这不就是强链的定义吗？将这个强链稍作拓展，得链

r3c6(1)=r45c6(4)-r7c6(4)=r8c8(8)-r2c8(8=1)

产生删数r2c6(1)和r3c8(1)，余盘瓦解。

当然，这个结论直接用链也能得到，这里只是以此说明毛刺构造强链的思路。万一你需要它呢？

小结：

（1）当原结构由于多出了一些候选数导致其不能直接使用时，这些多出来的候选数称为该结构的毛刺；特别地，如果原结构的部分删数可以被所有的毛刺删除，那么这些删数就一定可以删除。这是毛刺的最基本逻辑。

（2）可以使用毛刺来构造强链：若原结构成立时可以出数，则毛刺与这些出数成强关系。

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9.2

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