EH的数独杂谈#7-2 致命结构（2）- 稍复杂的致命结构

友情提示：本篇是7-1的延伸，但重要性和实用性与7-1等同（甚至更高）。

7-1传送门：#7-1 致命结构（1）-唯一矩形初步

概述传送门：#0 概述

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目录：

一、唯一环（Unique Loop，UL）

1. 唯一环的原理

2. 一些实例

二、拓展矩形（Extended Rectangle，XR）

1. 拓展矩形的原理

2. 一些实例

三、探长致命结构（Borescoper's Deadly Pattern）

1. 3数探长致命结构（abc-UR）

2. 4数探长致命结构（abcd-UR）

3. 一些实例

四、小结

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这一次，我们将会以UR为基础，探讨更复杂的致命结构，以及它们为何同样成立。

还记得唯一矩形的核心要义吗？它规定了4个形状呈矩形、分属2宫内的单元格，当这4个单元格有且仅有两种候选数时，存在2种不同的填法，但对外部盘面的影响完全一致。最终导致“局部多解，全盘无解”的局面。

但是，唯一矩形只是致命结构里最基本的一种。实际上，这种只包含两种候选数的双值格可以不止4个，并且当按照某种规律排布时依然能形成致命结构。这种有且仅有2种候选数的双值格组成的致命结构叫做唯一环。

1. 唯一环的原理

我们来看看其中一种最小的唯一环。如图7-2.1，它由6个单元格组成，分属3宫，且每格有且仅有2种候选数（1，2）。

我们尝试对这6格进行填数，很容易发现它同样有两种填法，如图7-2.2所示。

我们会发现，这两种填法似乎都正确。但就像分析UR一样，我们注意到：

（1）r5，r7，r8三行内分别形成12数组，三行内其余位置都不能有12；

（2）c2，c3，c4三列内分别形成12数组，三列内其余位置都不能有12；

（3）b4，b7，b8三宫内分别形成12数组，三宫内其余位置都不能有12。

也就是说，两种填法对于外部盘面影响完全一致，因此会导致“局部多解，全盘无解”，也就成了致命结构。

实际上我们可以认为，UR是UL的一个特例。

2. 一些实例

现在用一些实例，看看UL应该如何使用。

图7-2.3是另一种典型的6格UL，重点关注涂绿的6格的24。为了防止UL产生，紫色的三个1至少有一个成立。可以删除r3c8的1。

这道题在HoDoKu上的解法包括一步SDC和若干条链，但使用这一步UL可以直接破题。

当然，也有涉及格数更多的UL，比如图7-2.4的关于候选数15的UL。（如果无法理解这为什么能成为UL，请期待7-3节的内容）

为了防止UL产生，r2c5(2)、r4c2(8)、r9c2(9)至少有一个成立。无论哪个成立，都可以推出r4c1=5，推理过程从略。

1. 拓展矩形的原理

与唯一环的空间延伸不同，拓展矩形则是对所涉及的候选数种类进行延拓。但是，拓展矩形拥有两种典型构型。

第一种如图7-2.5.1所示，它包含6个单元格，分属3宫，且涉及3种候选数。

我们随机选择一种填数方式填进去，并且把第4行和第5行交换。交换前后的盘面如图7-2.5.2所示。我们会发现，无论哪种填法，在4行和5行都构成123数组；2列、4列和9列分别是12数组、23数组和13数组；4宫、5宫和6宫分别是12数组、23数组和13数组。

两种填法对外部盘面的影响一致，因此这个结构仍然是致命结构。但要注意，与UL形成致命的逻辑有所不同，XR的致命是由行/列交换产生的。

另一种典型XR构型如图7-2.6所示，它仍然涉及3种候选数和6个单元格，但只分布于2宫内。容易证明，无论采取哪种填法，将3列和5列互换之后不会对外部盘面产生影响，因此仍然是致命结构。

2. 一些实例

现在举一些例子加强对XR的理解。如图7-2.7.1所示，为了防止XR产生，要求紫色的两个3至少有一个为真，从而删除r9c9(3)。

另一种构型的XR如图7-2.7.2所示。为了防止XR产生，r9c1(9)和r3c2(3)至少有一个为真，即二者构成强链。对这条链进行延伸：

r9c1(9)=r3c2(3)-r3c9(3)=r2c7(5)-r7c7(5=9)

可以删除r7c1(9)，出r9c1=9。

当然，XR也可以包含不止6格。由于其并不常见，本文不会进行探讨，感兴趣的同学可以自行搜索~

接下来要探讨的这个致命结构就非常有意思了。这个结构由探长发现，并且被证明仍然是致命结构。这个结构的形状类似科目二的直角转弯(x)，并且根据所涉及候选数的种类不同，分为3数探长致命结构（abc-UR）和4数探长致命结构（abcd-UR）。

1. 3数探长致命结构（abc-UR）

图7-2.8.1展示了3数探长致命结构的典型特征。结构涉及三种候选数（此例为123），存在一个由两条直角边组成的支点（9宫的这三格），而在9宫之外存在两个翼（6宫的两格和8宫的两格），它们分别与支点的一条直角边构成矩形。

为了这个结构成立，所涉及的候选数必须只包含这三种，但允许存在残缺。

下面我们使用枚举的方法证明abc-UR的致命性。由于三种候选数具有相同的地位，不妨设一个翼上的数字为12，如图7-2.8.2所示。

现在对图7-2.8.2的支点进行讨论：

（1）若r78c7两格只填12，则形成UR。

（2）若r78c7两格有一格为3（本例中只能是r7c7=3，原因显而易见），不妨填入所有数字，如图7-2.8.3所示。这里我们直接将r5c8填了3——如果填1，那么就出现了12的UL。

将图7-2.8.3的所有填入数稍微变换次序，使两翼的数组逆序，如图7-2.8.4所示。对比图7-2.8.3和图7-2.8.4可以发现：

·5行的23数组，7行的123数组，8行的12数组保持不变；

·5列的12数组，7列的123数组，8列的23数组保持不变；

·6宫的23数组，8宫的12数组，9宫的123数组保持不变。

因此，我们找到了两种不同填法，使得abc-UR对外界盘面的影响一致，造成“局部多解，全盘无解”，证明了abc-UR确实是一个致命结构。

另外有一个值得强调的点：支点3格的位置具有一定的任意性。换言之，只要是两翼对准的正方形区域内的任意3格（标绿4格中的任何3个）都可以，如图7-2.8.5所示。

2. 4数探长致命结构（abcd-UR）

和abc-UR类似，abcd-UR的构型如图7-2.9.1所示。与abc-UR的唯一区别在于，abcd-UR涉及4种候选数，且支点4格全都用到了。

现在对两翼的填数情况作讨论：

（1）两翼是同一个数组（比如都是12）：这样支点上的12无论怎么填，要么和其中一个翼构成UR，要么和两个翼一起构成UL。

（2）两翼数组不同，但有一个数是公共的（比如12和13）：这样支点上的123无论怎么填，都和两个翼一起构成abc-UR。

（3）两翼数组完全不同（比如12和34）。这种情况详见图7-2.9.2。

我们注意到支点上的填数情况并非唯一，这里选取r7c7=2（选4也一样），全部填入后的情况如图7-2.9.3所示。

现在将两翼的数组逆序，支点按图7-2.9.4所示重新填入。这个时候的填法也不唯一，但按照图7-2.9.4的填法，对比图7-2.9.3和图7-2.9.4可以发现：

·5行的34数组，7行的123数组，8行的124数组保持不变；

·5列的12数组，7列的234数组，8列的134数组保持不变；

·6宫的34数组，8宫的12数组，9宫的1234数组保持不变。

因此，我们找到了两种不同填法，使得abcd-UR对外界盘面的影响一致，造成“局部多解，全盘无解”，证明了abcd-UR确实也是一个致命结构。

3. 一些实例

现在用一些例子加深对探长致命结构的理解。图7-2.10展示了一个典型的abc-UR，为了防止其产生，r1c6的4和7至少有一个为真，因此删除r1c6的89。

最后看一个abcd-UR的例子。如图7-2.11，为了防止abcd-UR出现，r5c8(3)和r1c23(4)至少有一个为真，即构成强链。对这条链进行延伸：

r5c8(3)=r1c23(4)-r1c6(4)=r3c6(4)-r3c9(4)=r9c9(4)-r9c8(4)=r8c7(3)

可以删除r8c8(3)，出r8c7(3)。