[策划]游戏中的数学问题——奖池到底多少钱
精华修改于2018/07/295178 浏览综合
转盘活动是游戏中比较常见的一个活动形式，大家也不陌生，所以就不做介绍了。
前两天看到一个游戏中的奖励设定，有点好奇，理了一下它的逻辑，发现比想象的复杂的多，于是把模型拿出来讨论一下。
（图文无关）
正常活动设计中，为了控制产出，所有的物品都有内部的一个价值，通过每一档的总价值乘以概率，求和得出这个转盘每一次产出的平均价值。
而在我观察的这个活动中，有一档奖励为“奖池的一半”，奖池这个概念也不陌生，所以显然这个奖励的价值就是不定的，那么在活动设计时，必然需要通过一个平均值来估算它的价值。
那么，这篇帖子主要就是探讨一下这个价值该怎么判定。
先说一下这个模型大概的逻辑，因为只探究最后有多少奖励，那投入就不说明了。
【模型】
玩家每转一次，会往奖池加入9元，先加奖池再转转盘，转转盘有0.5%的概率获得“奖池的一半”，奖池初始600元。求“奖池的一半”平均多少元。
【第一次抽出的最大价值】
我的第一反应，也是最简单的一个算法。
0.5%也就是1/200，假设抽200次，最后一次中奖。
那么可以求获得的奖金数量为：
a=(600+200*9)/2=1200 元
当然问题没有这么简单，概率是随机的，不会聚集在最后一次才抽到，所以这个值是第一次可以获得的奖金的最大值。
【第一次抽出的平均价值】
在还是假设抽200次的基础上，我们枚举出每一次抽奖的奖金，最后求它的平均，则奖金应该是：
我这里是用excel拉了个表算出来的。
不过这只是第一次抽奖的值，这个问题复杂的点在于，每次抽中奖之后，奖池的初始值发生了变化，所以不能用上面的公式简单计算这个奖品的价值。
【暴力求解平均最大价值】
虽然人力计算很麻烦，但是电脑是可以进行反复计算的，于是。。。
我电话求助远方的学神，通过MATLAB编程，假定每200次抽走一半奖池，进行10,000次的模拟，对整个奖池的数据进行记录，绘制出图像。
编程：
图像：
每抽中一次奖池，奖池数量就会少一半，所以我们只需要看整个图像最下方的点拟合出的曲线就可以了。
可以看出，最终奖品趋近于一个稳定值。这个值预计在1800左右。
【暴力求解平均价值】
但是只求最大价值显然是不够严谨的，于是对原代码进行修改，加入了随机数，再跑个1,000,000次看看图像。
这里简单说明一下，代码的随机方法是，每次生成一个0到1之间的数，若这个数小于0.005，则视为中奖，当数值足够大，结果就足够稳定，近似于中奖概率为0.5%。
编程：
图像：
最后，对所有的中奖值求一次平均，就估算出这个奖池的价值会在1795左右进行波动。
【数学求解奖品价值】
学神为什么是学神！？
怎么可能只满足于暴力求解？
他最后丢给我一张图，答案揭晓。
简单分析一下，即每次开抽时，奖池的初始值，都与上一次的中奖情况有关，设第t次中奖，A(t)是第t次抽奖后奖池价值的映射，E[A(t)]是第t次中奖时。。。算了我编不下去了。
反正就是，看最后两步的计算，这个奖品的最终价值只与每次注入奖池的数量和中奖的概率有关，与初值无关。
就这个模型来看，“奖池的一半”价值为1791元。
【实际情况】
在实际的游戏设计中，官方为了配合活动，往往还会有日常奖励免费抽奖，十连抽，不同行为注入奖池不同金额等等设定。
使得实际情况会比上述模型更加复杂，而又不可能每次都进行相关分析或者求解。
所以个人认为，比较方便的方法是，在估计了奖品价值的情况下，上线试运行，记录玩家中奖数据，求实际平均得到相对精准的数据，再进行调整。或者。。。不要碰这个设定XD。
【游戏中的随机】
本篇内容主要是讨论数学上的随机计算，可能对大部分玩家来说价值没有那么高，也看不懂。
其实随机在游戏中有着非常广泛的应用，如果感兴趣，可以观看以下视频：
感谢@小怜的推荐。
终于写完啦，感谢远方学神的援助，祝在浙大没有我的日子天天开心。/斜眼笑
如果有更加高级的解法，欢迎评论区讨论。