EH的数独杂谈#9-1 SDC初步

修改于2023/09/241390 浏览攻略

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一、SDC的基本形式

二、SDC的拓展形式

1. 外部扩展的SDC

2. 内部区块的SDC

3. 自噬SDC

三、SDC的观察

四、欠一数组——SDC的另一种视角

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大家好！第9单元将会介绍另外一种用途还算广泛，功能极其强大的结构——SDC（Sue de Coq，融合待定数组）。SDC与我们学过的数组有类似之处，但它在形式上通常分布在多个区域（行/列/宫）内，观察起来有一定难度。

让我们先从一个最简单的SDC实例讲起。

一、SDC的基本形式

SDC的基本形式见图9-1.1。

让我们把目光放在红框框起来的两格，里面包含1259四种候选数；在与这两格同宫的格子r1c8内含有候选数19，在与这两格同列的格子r6c7内含有候选数25。现在把这四格内的19涂成橙色，25涂成紫色。

现在想一想：红框里的填数形式会是怎样的呢？

图9-1.1 SDC的基本形式

红框有两格，显然这两格要么都填橙色，要么都填紫色，要么一个橙色一个紫色。但在本例中：

（1）如果都填橙色（即都是19），则3宫内19两个数字占了3个单元格，违背数独规则。（2）如果都填紫色（即都是25），则7列内25两个数字占了3个单元格，同样违背数独规则。

所以只剩最后一种情况，即一格填橙色（1/9），另一格填紫色（2/5）。

接下来想想这种情况意味着什么：3宫现在有两格橙色（r1c8+红框内1格），即3宫内形成19数组，那么3宫内未被涂色的单元格r123c9都不能是1和9。同理，7列也有两格紫色，即形成25数组，那么7列内未被涂色的单元格r49c7都不能是2和5。从而产生图中涂红色部分的删数。

在阅读后面的内容前，请确保你已经理解了上例的分析。我们注意到，这个例子的红框部分虽然是4种候选数的融合，但配合其他区域的单元格，可以把它拆解为两个不同区域的数组，当做数组去使用。这种形式上融合，但在逻辑上可以分离为多个数组并且分开使用的候选数结构，被称为Sue de Coq。这个技巧是以发现者Sue de Coq的名字命名的。

或许有读者已经在思考这种技巧如何去观察了。但是不急，我们先了解一下它的拓展形式，然后再进行总结。

二、SDC的拓展形式

1. 外部扩展的SDC

在上一个例子中，我们找到了一个红框区域（占2格），里面包含四种候选数abcd。然后，我们在红框的所在宫和列内，又各找了一个只包含ab和只包含cd的单元格。这样，结构所占的单元格数和涉及的候选数区域总数相等，都为4。（这句话没理解也没关系，之后还会进一步解释。）

但有时情况并不完美，比如下面的图9-1.2。

图9-1.2 外部扩展的SDC

我们依然关注红框，内部包含了1289四种候选数。在红框所在列，我们找到了只含19的单元格r9c5；在红框所在宫，我们并没有直接找到包含28的单元格。相反，我们却找到了两格r12c4，它们不仅包含28，还恰好多出一种数字7。

现在把19涂成橙色，28涂成紫色；这两个“多出来”的7涂成绿色。我们再次对红框内的填数情况进行讨论：

（1）如果红框内两格都是橙色（19），则5列内19两种候选数占据3个单元格，违背了数独规则。

（2）如果红框内两格都是紫色（28），那么红框和刚才找到的r12c4两格，这四格内只有278三种候选数了，还是违背数独规则。

所以，5列内r129c5中存在19数对，2宫内r12c45中存在278数组。从而产生涂红色部分的删数。

看到了吗？虽然多出一个7，但是分析的思路是完全一样的！

我们再回看这个例子，它一共涉及5个单元格，而候选数区域也包含5种：19，28，7。它仍然是个合格的SDC。如果我们草率地把红框定义为SDC的“内部”，而宫内和行/列内另找的单元格（在本例中是r12c4和r9c5）是SDC的“外部”，则这一例的7就可以算作“外部”拓展出的候选数，但这些7仍然是SDC整个结构不可或缺的一部分。

2. 内部区块的SDC

刚才例子里“似乎多出来”的那个候选数7，出现在SDC的“外部”。现在我们来看多出的候选数出现在SDC“内部”的情况，如图9-1.3。

图9-1.3 内部区块的SDC

我们仍然关注红框，里面包含了5种候选数：24569（内部）。在其列上找到一个只包含56的格子r7c9，在其宫内找到一个只包含49的格子r2c8（外部）。

前两个例子中，我们从“外部”找到的格子，其包含的候选数完全覆盖了“内部”的候选数类型（不信就回去看看是不是这样），但这次我们只找到了56和49，而“内部”多出了一种候选数2。

现在，把56涂成紫色，49涂成橙色，“多出来”的2涂成绿色。因为有三种颜色，想要探讨红框内的填数情况会更复杂一点。但我们肯定知道：

（1）绿色（2）最多只能填入1个，这是很明显的。

（2）紫色（56）最多只能填入1个，否则9列上56两种候选数将占据3格，违背数独规则。

（3）橙色（49）最多只能填入1个，否则3宫内49两种候选数将占据3格，违背数独规则。

（4）绿色、紫色、橙色一共要有3个，因为这三格里所有的数字都被涂色了。

这相当于解不等式组x≤1，y≤1，z≤1，且x+y+z=3。很显然，x=y=z=1，也就是红框里必须恰好有一格紫色，一格橙色和一格绿色，也就意味着：

（1）恰有一格紫色——r1237c9在9列上构成56数对。

（2）恰有一格橙色——r123c9和r2c8在3宫内构成49数对。

（3）恰有一格绿色——r12c9内一定有一个数字2，即数字2在红框内事实上形成了区块。

现在回来看图中涂成红色的删数，你是否已经明白了它的原理呢？

这个例子也涉及5个单元格，同样包含着5种候选数：56，49，2。这个“似乎多出来”的2出现在SDC的“内部”，是SDC不可或缺的一部分。

3. 自噬SDC

-注：秩理论不是这一部分的前置知识点，但学习秩理论将有助于从另一个角度理解这一部分的内容。-

“自噬”是一个常见而又有点神秘色彩的概念，这是本杂谈系列第一次提到它。笼统地讲，结构删数反过来删去了结构某些组分甚至结构本身的现象，就称作自噬。

SDC就是存在自噬现象的结构之一。让我们来看图9-1.4。

图9-1.4 自噬SDC

读者可以先将这张图里r9c5的4（就是我划叉那个）先涂掉，看看能不能理解涂红色部分的删数。

在此基础上，我们来探索一下，r9c5多了一个4之后，会不会影响这些删数。

我们注意到，虽然多了这个4，但分析红框的填数方式时结论是不变的，即一定恰有一格橙色和一格紫色，在5列和8宫内构成数组。

本例最大的特点在于，5列和8宫内的数组同时涉及了候选数4。因此，虽然形式上它是6格而只涉及5种候选数（12，479）的结构，但候选数4跨了两个区域（5列和8宫），所以候选数区域还是6个，等于结构所占格数。

到现在为止，我们终于把候选数种类和候选数区域的区别讲出来了。通过观察发现，这两个4的区域相交于红框内（本例中是r9c5的4）。这是自噬产生的基础。

刚才那段讲的有些云里雾里。我们现在来具体看看r9c5填4会发生什么：

（1）如果这个4当成紫色来对待，那么r8c5就是橙色（12）；由于现在填入了这个4，r7c46也只包含12两种候选数了，从而候选数12在8宫内占3格，违背数独规则。

（2）如果这个4当成橙色来对待，那么r8c5就是紫色（479），等于说479三种候选数在5列内占了4格，同样违背数独规则。

无论从这两个角度的哪一种来考虑，这个4都不该存在。所以r9c5≠4。

看到了吗？这个4本来是SDC结构内的数字，但通过结构的推理却把它删掉了。这就是“自噬”。既然这个4不存在了，那么涂红色的删数也都可以删掉了。

-注：从秩理论的角度讲，SDC是一个零秩结构，因此所有弱区域都是可以产生删数的。而两个弱区域在结构内部的重叠部分（也是结构内的候选数）一旦为真，就会将结构降为负秩，而负秩结构是不可能存在的。-

三、SDC的观察

注：这一部分内容全程重点且高能，必须结合大量练习实例来理解！

我们刚才讨论了4个实例，分别是基本的SDC，外部扩展的SDC，内部区块的SDC，自噬的SDC。这四种实际上都是同一种。在以下方面，合格的SDC结构存在共性，请读者结合以上实例进行验证：

（1）结构涉及的单元格数=候选数区域个数，这也是SDC观察的一个基本点。请注意在自噬SDC中，同一种候选数可能占据多个区域。

（2）SDC“内部”通常是一宫内的某个行/列，不包含已经填入的确定数。在现阶段，SDC通常都会横跨一个宫和一个行/列。

（3）不涉及自噬的候选数不会跨区域存在。

（4）结构涉及的候选数种类数通常≥4。

基于以上特点，我们观察图9-1.5.1的实例，总结一种从内到外观察SDC的角度，当然这通常需要具体问题具体分析：

（1）找到一宫内的一个行/列（n格，n通常是2或3），里面需要有k种候选数，且k至少为4。例如图9-1.5.1，我们找到一个3格5种候选数的区域，此处n=3，k=5。

图9-1.5.1

（2）在SDC“内部”同一行列/宫内找到n1格（n1+n＜k），包含这k种候选数的k1个（k1≥2）。如果不得不再引入Δ1种候选数，那就再找Δ1个格子，把这（k1+Δ1）种候选数包含其中。此步骤后，还剩下（k-n-n1）格，以及（k-k1）种候选数。如图9-1.5.2，因为有5种候选数（12679，k=5），我们只找到3格。恰好1行里有一个包含27的格子，所以把它也划入结构。现在还有5-3-1=1格需要找，而还剩下的候选数种类是169，共5-2=3种。

图9-1.5.2

（3）在SDC“内部”同一宫/行列内找（n-n1）格，它必须恰好包含剩余（k-k1）种候选数或者其中的一部分（设为k2种，k2≥2）。如果不得不再引入Δ2种候选数，那就再找Δ2个格子，把这（k2+Δ2）种候选数包含其中。如图9-1.5.3，还有1个格子和3种候选数（169）没找到，但1宫内剩下3格都没有9了，因此退而求其次找一格只包含候选数16的单元格。我们发现，没有直接的16单元格，因此引入一种候选数4，从而需要找两格包含146的格子。现在我们已经找到了完整的结构。经证明，结构涉及格数和候选数区域数都是6，满足SDC的条件，可以产生如下的删数。