EH的数独杂谈#11-1 构造初步

修改于2023/10/151217 浏览攻略

前置知识：本系列1-6章（尤其是第1章）以及第10章

（或者其他系列教程中对应的部分）

请注意：本系列的11-13章是深水区，请确保在完全理解前置基础知识的前提下观看！

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一、什么是构造？

二、第一类构造——AIC+

1. XY-Wing+

2. W-Wing+

3. XYZ-Wing+

三、第二类构造——规避非法结构

1. 规避唯一矩形（UR）

2. 规避BUG

3. 规避守护者

四、广义Wing

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大家好！在第10章中，我们总结了一些常见不难的数独技巧，它们是数独万千技巧的基础。但对于你游五星题来说，仅仅使用这些技巧并不足以解题；即使学习了链，在实际进行寻找的过程中还是会遇到卡死的情况。

因此本系列的第11-13章将会从构造、毛刺、秩理论三个角度入手，帮助大家拓展视野，从已有的技巧中发掘出更多的方法，并试图以此展现标准数独的逻辑之美。

一、什么是构造？

所谓“构造”，就是指利用现有条件，提取出强关系或弱关系，并通过延伸从而产生删数的过程。注意，这个定义只是对一系列实例的抽象概括，而且构造本身是一种很灵活的思想方法，因此在学的时候尽量不要在概念上钻牛角尖。

实际上，通过构造产生的关系可以像普通的强/弱链一样去使用。作为11章的开始，本篇只介绍一些简单的构造强链的实例。

二、第一类构造——已有逻辑关系的延伸

在“链的延伸”一章中，笔者已经无意间带出了这种构造的本质：对已经找到的强链（或者弱链，但通常是强链）进行延伸，直到产生删数为止。

我们在第10章了解过，XY-Wing和W-Wing就是两种特殊的链，所以找到它们之后就可以直接得到一条强链；对于XYZ-Wing，我们也有办法构造出它的一条强链。如果它们本身的强链无法产生删数，那就试着去延伸吧！

1. XY-Wing+

先来看一个XY-Wing延伸的实例，如图11-1.1.1。我们从中找到了一个XY-Wing，并且得到强链

r9c4(3)=r8c8(3)

图11-1.1.1 一个没有直接删数的XY-Wing

很可惜，只知道这条强链似乎并无助于解题。不过把这条强链的头尾都延伸一下，就变成了图11-1.1.2的形式，也就是

r9c5(8=3)-r9c4(3)=r8c8(3)-r4c8(3=8)

从而产生删数r4c5≠8。

图11-1.1.2 XY-Wing+

看到了吗？我们通过XY-Wing构造了一条强链，然后通过延伸使它能够产生删数。本题在删了这个8之后，剩余步骤只需要排除和唯余就能做了。

还有一个更巧的事情：r9c4(3)和r8c8(3)分别能看到一个只含38的单元格，所以图11.1.1.2得到的链，不就是一个标准的W-Wing吗？

2. W-Wing+

再来看一个W-Wing的实例，这次我们直接用你游五星第二关举例，如图11-1.2：

图11-1.2 W-Wing+

乍一看这张图会比较乱。我们先只关心绿色区域，注意到两个绿框只包含14，而第一行又有一个1的强链，它们分别看到了这两个14单元格。所以得到W-Wing的强关系

r3c4(4)=r2c1(4)

当然这个强关系也没有直接的删数，我们像图上画的一样去延伸它：

r3c4(4)=r2c1(4)-r1c2(4)=r9c2(4)

这样就产生删数r9c4≠4。到了这一步为止，即使没破题也八九不离十了吧。

3. XYZ-Wing+

还是五星第二关，在图11-1.2之前，还有一个XYZ-Wing构造的例子，如图11-1.3.1。

图11-1.3.1 XYZ-Wing+

还是只关注绿框，我们得到一个XYZ-Wing的结构，并提取强链

r2c1(4)=r1c2,r2c6(4)

当然这条强链没有直接删数。但是注意到无论是r1c2(4)还是r2c6(4)，都可以推出r1c6(4)为假，因此进行一步延伸，就像图上画的一样：

r2c1(4)=r1c2,r2c6(4)-r1c6(4=7)

提取强关系

r2c1(4)=r1c6(7)

但是这条强链还是没有直接的删数。这没关系，构造也不是一定能产生删数的，构造一次不行的时候，可以考虑再构造一次。例如，基于刚才那条强链，我们延伸出一个如图11-1.3.2的连续环，然后产生删数r45c1≠6。

图11-1.3.2 二重构造

刚才的三个例子都是构造已有强链，然后进行延伸得到删数。从XY-Wing等已知结构入手是一种相当有效的切入点，通过这种构造与延伸的过程，我们的解题思路变得更加灵活多样。

三、第二类构造——非法结构规避

这类构造相比第一类就更加灵活了。

首先我们来想想什么是“非法结构”：顾名思义，就是不应该在数独盘面上出现的结构。例如我们之前学过的UR，它的出现会导致“局部多解”也就是“全盘无解”，是不应出现的；在第10章里我们介绍过BUG的概念，它也是不应出现的结构；还有守护者（如果你没接触过，可以出门左转看一下它最基础的知识），它也是为了避免奇数个共轭对成环的结构出现。

那么在实际的盘面中，我们通常寻找这些结构“差点出现”的情形，确定一些避免它出现的候选数。那么这些候选数就成强关系。

还是不要强行理解这段话，看完我下面的实例，你就都明白了。

1. 规避UR

先来看图11-1.4，它是我从五星第一关找出的例子：

图11-1.4 基于UR的构造

注意到绿框的四个89，它们有构成UR的可能。进一步观察发现，如果r1c3(2)和r9c1(7)都为假（都消失），那么就形成了UR，这是不应存在的。这样我们就得到了r1c3(2)和r9c1(7)至少一个为真，也就是

r1c3(2)=r9c1(7)

现在知道UR构造的用法了吗？接下来，我们延伸一下这条链，变成

r9c1(7)=r1c3(2-9)=r1c1(9)

从而产生删数r9c1≠9。

2. 规避BUG

在第10章里，我们讲述了BUG的概念，以及BUG+1的概念。但实际上可能会是BUG+2或者更复杂的情况，此时我们就可以考虑构造了。

BUG+1没有必要去构造，因为直接就能出数。我们来看一个BUG+2的实例，如图11-1.5所示。

图11-1.5 BUG+2构造

在本例中，如果r7c5(3)和r8c6(6)同假，那么剩余的盘面就构成了标准的BUG（请回顾BUG成立的两个条件，如果忘了可以出门左转#10）。于是r7c5(3)和r8c6(6)都是真数，它们至少有一个为真，即

r7c5(3)=r8c6(6)

进而延伸得到

r8c6(6)=r7c5(3)-r8c5(3=4)

从而产生删数r8c6≠4，余盘瓦解。

3. 规避守护者

守护者是一种不算罕见但也不那么常见的结构，但是仍然有可构造的空间。还是五星第二关的例子，如图11-1.6.1：

图11-1.6.1 守护者

这个例子会稍微难理解一点。

观察图中的5个绿圈和5条绿线，其中实线表示两个3形成共轭对，虚线表示没有形成共轭对。再看黄圈，如果黄圈的三个3都为假，那么这五条线都是3的共轭对，也就是奇数个共轭对成环，这种结构是不可能存在的（详见连续环一章中的证明过程）。所以黄圈两个3至少有一个为真，也就构造了强关系

r1c9,r2c7(3)=r8c1(3)

接下来对其进行如图11-1.6.2那样的延伸，也就是

r1c9,r2c7(3)=r8c1(3)-r2c1(3)=r1c3(3)

从而得到删数r1c7≠3。

图11-1.6.2 基于守护者的构造

四、广义Wing

我们在#10中讲解了XY-Wing，W-Wing和XYZ-Wing的一般形式。比如XY-Wing，我们当时规定它必须是三个双值格，但其实它只是三条强链的特殊排列而已。只要不影响三条强链的关系，我们就完全可以称之为广义的XY-Wing。实际上，XY-Wing，W-Wing和XYZ-Wing都有其广义形式。

先回过头来看看标准的XY-Wing长什么样吧，如图11-1.7.1所示：