EH的数独杂谈#1 再谈链的概念

2022/08/241362 浏览攻略

友情提醒：

笔者假设你已经仔细阅读过精华区“小灰的数独迷你课堂”系列，并且已经熟悉了数独的行，列，宫，单元格等概念以及链的基本概念。由于对这些概念的不熟悉导致的阅读困难，敬请出门左转。

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在最初了解到标准数独这一既简约又复杂的游戏时，你或许就已经听说过链的大名。链作为标准数独的一项重要技巧，可以用来解决相当一部分的难题，它的灵活性与强大的功能让无数数独玩家为之着迷。

但是，为什么数独技巧中要有链呢？

一、链的概念回顾

我们来回顾一下有关于“强链”和“弱链”的定义：

强链

第一定义：若根据候选数A（或B）为假可以推出候选数B（或A）为真，则A与B构成强链，记作A=B。

第二定义：若候选数A与B不能同时为假（至少一个为真），则A与B构成强链，记作A=B。

弱链

第一定义：若根据候选数A（或B）为真可以推出候选数B（或A）为假，则A与B构成弱链，记作A-B。

第二定义：若候选数A与B不能同时为真（至少一个为假），则A与B构成强链，记作A-B。

也就是说，这些定义都是用来描述两个候选数的逻辑关系。根据数独的基本规则，可以直接得到如下公理：

①同区（位于同一行，列或宫。这个概念很可能会在后续帖子里再次提及）的同种候选数两两构成弱链。特别地，如果这种候选数在这一区里只出现两次，则它们也同时构成强链。

②同一单元格的候选数两两构成弱链。特别地，如果这一单元格内只有两种候选数，则它们也同时构成强链。

③链没有方向性。

举一些具体的例子来说明一下吧，比如下面这个没有填完的盘面：

·对候选数4而言，注意到c4里有3格含候选数4，根据数独规则，这三个里只能有一个为真。所以从里面任意拿出两个，都最多只有一个为真。自然有

r1c4(4)-r3c4(4)，r3c4(4)-r4c4(4)，

r1c4(4)-r4c4(4)

·而在c6里只有2格含候选数4，那么它们有且只有一个为真，它同时满足强链和弱链的定义。自然有

r1c6(4)=r4c6(4)，r1c6(4)-r4c6(4)

·如果聚焦于一个具体的单元格，比如r2c6，它只有1和2两个候选数，显然它不可能既是1又是2，即它们两个最多只有一个为真；同时它又必须是1或2中的一个，即它们两个至少有一个为真。因此它们既成强链又成弱链，即

r2c6(1)=r2c6(2)，r2c6(1)-r2c6(2)

为了后续讨论的方便，我们顺便引入“双值格”和“共轭对”的定义：

双值格：如果一个单元格有且只有两个候选数，则这个单元格称为双值格。比如刚才的r2c6。

共轭对：如果两个候选数“有且仅有一个为真”（同时满足强链与弱链定义），则这两个候选数构成共轭对。比如r1c6(4)与r4c6(4)，以及r2c6(1)与r2c6(2)。

此外，我们知道链是可以连接的。如果我们从r2c6的2开始，可以拉出一条这样的链：

r2c6(2)=r2c6(1)-r7c6(1)=r7c4(1)-r7c4(3)=r3c4(3)-r3c1(3)=r2c1(3)

在图上画出来大概是这样的。笔者通常采用手画，为了观察方便，用橙色圆圈表示链的开端，红线表示强链，蓝线表示弱链，叉号表示删数：

你会注意到，任意拿出一条短链都是正确的，而且整条链强弱交替，从强链开头，到强链结束。它的逻辑是，如果r2c6≠2，那么按照链的第一定义，可以一步一步推到r2c1=3，从而r2c1≠2；如果r2c6=2，那么还是有r2c1≠2。总之有删数r2c1≠2。

这种强弱交替的推导链简称AIC，它从链的基本概念中跳脱出来，变成了真的可以删数的实用技巧。

二、链与试数的关系

当然，你并不一定能一下子就想到用链来解题。在数独解到穷途末路的时候，你可能会采用“试数”的策略，即随手假设一个格子填某个数，一步一步推导下去，如果一不小心把这题解了，那为最好；如果发现矛盾，那就说明最初的假设是不对的。

还是拿刚才的例子，你假设r2c6是1，这样r7c6就不是1，那么r7只有一格r7c4能填1；从而r7c4不是3，c4里只有一格r3c4能填3...这个试数的过程是否可以用链来描述呢？

“假设r2c6是1，这样r7c6就不是1”——通过r2c6(1)为真推出r7c6(1)为假，根据链的第一定义，有

r2c6(1)-r7c6(1)

“...那么r7只有一格r7c4能填1”——通过r7c6(1)为假推出r7c4(1)为真，根据链的第一定义，有

r7c6(1)=r7c4(1)

连起来就变成了

r2c6(1)-r7c6(1)=r7c4(1)

从试数的过程看，我们从r2c6为1，推出了r7c4为1；从链的延伸看，从r2c6(1)依次经过一条弱链和一条强链连接到r7c4(1)。由此可见，试数中从一个数A为真推导到另一个数B为真的过程，就相当于从A依次经过一条弱链和一条强链连接到B。

按照这样的分析，你就可以从一个全新的角度去看我上面写的那条长链了，你试数的过程也终于可以用链的逻辑来完整地表述了。

不过，仅通过这点表述还并不足以让大家明白链和试数的区别。考察一个最基本的强弱强交替链

A=B-C=D

我们分情况来讨论一下：

①如果A为真，那么B可真可假，C可真可假，D可真可假。

②如果A为假，则B为真，进而“推出”D为真。

把这两个情况整合一下，就意味着A和D至少一者为真。

这个结论是不需要试数就可以知道的，完全正确的结论，因为在这一条链里就已经把A假和A真这两种情况都讨论一遍了。这意味着，如果数独盘面上存在一些事件让A和D都是假的，那这些事件是必然不成立的（无论A是真是假）。当然，你并不能仅从这一点就立刻知道A是真是假。

那试数呢？在试数的情况下，你更多地是在通过整个盘面的矛盾来反向检验最初假设的正确性。这意味着你必须先假定A是真或A是假。假设未必正确，那么得到的结论也就不都是正确的。

现在大家或许能够体会到了，链和试数虽有共性，但逻辑并不完全相同，使用方法和效果也并不相同。当然，这并不能说明试数在链面前一文不值，毕竟数独中仍然存在一些“不得不试”的灰色地带，仅仅用链来表述恐怕会太过麻烦了。

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希望上述内容能帮助大家更进一步地理解链的含义。如有错漏，请在下方评论区告诉我，你们的意见和建议是我进步的最大动力，谢谢大家！

数独清测试

9.2

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