一些简单公式和想法及思考过程

(注：常数项忽略不计，结尾附上公式)

1.y=kx

玩此类游戏必须掌握的一个公式，也是最简单的，y=±kx，此处k为斜率

2.y=ax^2+bx

也是一个基本函数，但其实不常用

当遇到需要使用的时候，通过初中的知识可以得到一些技巧和方法

明确你与目标的横坐标距离，a=n/x^2，那么b=n/x，无需计算，直接输入即可

3.±a^(x-b)

指数函数的实用性就比二次函数大很多了,以下举几个简单例子

这样能直观的感受到指数函数能够帮助我们更加便捷的绕开障碍物，不需要经过二次函数那样的计算

正负号决定函数的单调性，在指数为正的情况下，正号箭头向上，负号箭头向下 反之，正号箭头向下，负号箭头向上

如果想要打出第一张图片那样的轨迹的话

必须写-a(b)的负次方

4.绝对值函数

绝对值函数的种类太多了，我不一一列举，可以看看@fw@爱睡觉的小糯米两位大佬的作品

但他们几乎都可以写成分段函数的形式，

比如我想让一个函数先上升再滑行一段距离再下降

那它的分段函数可以这样写

     k(x-a)                a≤x＜b

y= k(b-a)                b≤x≤c

     k(b-a)-k(x-c)   c＜x

这里不再过多阐述

5.高斯钟形

高斯钟形是一个极其实用的函数，

他可以在多个地方急剧升高或下降，举一个例子

这就是一个经典的高斯钟形的例子，函数在x=36的位置骤降击中目标

正负号决定升降，正号升负号降，系数决定升降的高度

知道了这些，就可以结合一下指数函数，以下部分参考@fw大佬

±ae^-x±c(d)^-(x-b)^2±……d为足够大的正数

图像长这样，那个尖就是高斯钟形

有好奇同学就要问了，这俩咋结合的?

问得好，这就要牵扯到他们俩的特性了

当x＞b时，x-b＞0，那么-(x-b)^2＜0

即原式=±1/(c(d)^(x-b)^2，原式会很小，贴近0

当x＜b时，x-b＜0，那么-(x-b)^2＜0

即原式=±1/(c(d)^(x-b)^2，原式依旧会很小

当x=b时，原式=1

发现了吗，只有在x靠近b的时候原式才会较大，这就是原因

6.独立发现

dy/dy=±ae^-x±c(d)^-(x-b)^2±……的图像是这样的

变平缓了，这就引发了思考🤔

是不是我只要求出±ae^-x±c(d)^-(x-b)^2±……的积分就那任意上下切换了?

原理和上面的一样，但有了一些问题，正态分布的积分无法用初等函数表达，需要用到erf函数，但游戏里没有

我查找了一些资料，找到了erf函数的近似

1 - \frac{1}{(1 + 0.278393x + 0.230389x^2 + 0.000972x^3 + 0.078108x^4)^4}

过长了，通过工具佐证，我将他变成了

1-1/((1+x^2))^4，这个近似在x＞3时精度极高

我又注意到当x为负数时近似似乎失效了?

这时我想到了符号函数x/abs(x)，再次加上之后过然没问题了，近似变成了这样

将x代入后真的实现了

结合后也令我很满意

一项是±b*(x-d)/abs(x-d)*(1-1/((1+(x-d)^2)^4，

与±c(d)^-(x-b)^2±……串着用就能有这样的效果

后来我发现糯米大佬其实有一种更简洁明了的函数

a/(1+100^(b-x))是同样的效果，在此也很佩服

最后，奉上公式

y=kx

y=ax^2+bx

y=a^(x-b)

y=asinbx

y=a(x±abs(x-b))

y=±ae^-x±c(d)^-(x-b)^2±……

y=±ae^-x±c(d)^-(x-b)^2±b*(x-d)/abs(x-d)*(1-1/((1+(x-d)^2)^4……

再次感谢：@fw@爱睡觉的小糯米两位大佬