关于分段函数的一些简单讨论
修改于07/30462 浏览攻略
(注：本帖仅进行简单的分段函数讨论，大量简化繁多步骤，如有遗漏欢迎纠错)
首先要先知道分段函数的定义
分段函数是指一个函数在定义域的不同区间上，用不同的解析式来表示
用数学来表达的话就是f(x)=g_1(x)，x∈~
g_2(x)，x∈~……
实际上，绝对值也是一种分段函数，他写成分段函数是这样的
abs(x)=-x，x＜0
x，x≥0
绝对值函数就是本帖要讨论的重点，利用绝对值函数可以合并一些分段函数
在游玩的过程中，我们遇到的障碍其实是错综复杂的，
在时间限制内很难写出复杂的函数
分段函数无疑是解决这类问题的好帮手
它的分段性质可以帮助我们轻松越过任意障碍
那他该如何使用呢？
一，首先确定折点，明确折点的x坐标和y坐标
二，写出你想表达的分段函数，此处列举一个简单公式，函数图像为上-平-下-平
f(x)=k_1x， 0≤x≤a
h， a＜x≤b
k_2x+m，b＜x≤c
d， x＞c
字母含义：
a:第一个转折点的x坐标
h:平台高度
b:平台结束的x坐标
k_2:下降段斜率
m:下降断截距
c:下降段终点x坐标
d:最终平台高度
k_1:上升段斜率
在完成后面的讲解后，可以尝试着去画一下图像长这样
三，引入公式
±Ax±B_1abs(x-i_1)±B_2abs(x-i_1)±……
其中A表示所有绝对值影响抵消后的基准斜率
i_n表示转折点的x坐标
B_n是斜率跳跃系数，在x=i_k处斜率跳升2B_k
这个结论是怎么得来的呢?
首先d/dx(abs(x-i))=-1， x＜i
1， x＞i
x=i处不可导，但左右导数差是2
加上系数B
d/dx(Babs(x-i))=-B， x＜i
B， x＞i
在x刚跨过i时，这一贡献的斜率变化是2B
在某个 i_k 处，只有 B_kabs(x - i_k)这一项会产生导数跳变，其他项在该点可导
所以在i_k处，其贡献的斜率变化是2B_k
反过来B_k=斜率跳跃量/2，这就是这个结论的由来
既然B解决了A该如何计算呢?
前面刚刚说了，d/dx(abs(x-i))在x＞i时导数恒为1，
由此可以推断A+……+B_n=k_n，
则A可以写成A=k_n-(n，i=1)∑B_i
A=(k_1+k_i)/2
到此关于分段函数的简单讨论结束，
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