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关于分段函数的一些简单讨论

修改于07/30543 浏览攻略
(注:本帖仅进行简单的分段函数讨论,大量简化繁多步骤,如有遗漏欢迎纠错)
首先要先知道分段函数的定义
分段函数是指一个函数在定义域的不同区间上,用不同的解析式来表示
用数学来表达的话就是f(x)=g_1(x),x∈~
                                           g_2(x),x∈~……
实际上,绝对值也是一种分段函数,他写成分段函数是这样的
                            abs(x)=-x,x<0
                                           x,x≥0
绝对值函数就是本帖要讨论的重点,利用绝对值函数可以合并一些分段函数
在游玩的过程中,我们遇到的障碍其实是错综复杂的,
在时间限制内很难写出复杂的函数
分段函数无疑是解决这类问题的好帮手
它的分段性质可以帮助我们轻松越过任意障碍
那他该如何使用呢?
一,首先确定折点,明确折点的x坐标和y坐标
二,写出你想表达的分段函数,此处列举一个简单公式,函数图像为上-平-下-平
     
                  f(x)=k_1x,     0≤x≤a
                          h,           a<x≤b
                          k_2x+m,b<x≤c
                          d,           x>c
字母含义:
a:第一个转折点的x坐标
h:平台高度
b:平台结束的x坐标
k_2:下降段斜率
m:下降断截距
c:下降段终点x坐标
d:最终平台高度
k_1:上升段斜率
在完成后面的讲解后,可以尝试着去画一下图像长这样
TapTap
三,引入公式
±Ax±B_1abs(x-i_1)±B_2abs(x-i_1)±……
其中A表示所有绝对值影响抵消后的基准斜率
i_n表示转折点的x坐标
B_n是斜率跳跃系数,在x=i_k处斜率跳升2B_k
这个结论是怎么得来的呢?
首先d/dx(abs(x-i))=-1,   x<i
                                   1,   x>i
x=i处不可导,但左右导数差是2
加上系数B
d/dx(Babs(x-i))=-B,   x<i
                              B,   x>i
在x刚跨过i时,这一贡献的斜率变化是2B
在某个 i_k 处,只有 B_kabs(x - i_k)这一项会产生导数跳变,其他项在该点可导
所以在i_k处,其贡献的斜率变化是2B_k
反过来B_k=斜率跳跃量/2,这就是这个结论的由来
既然B解决了A该如何计算呢?
前面刚刚说了,d/dx(abs(x-i))在x>i时导数恒为1,
由此可以推断A+……+B_n=k_n,
则A可以写成A=k_n-(n,i=1)∑B_i
A=(k_1+k_i)/2
到此关于分段函数的简单讨论结束,
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